Arsitektur Mesin Game

ok tugas yang ketiga ini dalam mata kuliah Pengantar Teknologi Game adalah tentang arsitektur mesin game.
dari hardware dan software beserta integrasi database harus dibahas terkait arsitektur game.

Beberapa mesin permainan hanya menyediakan waktu-nyata, bukan kemampuan render 3D dari beragam fungsi yang diperlukan oleh permainan. Mesin ini mengandalkan permainan pengembang untuk melaksanakan seluruh fungsi ini atau merakit dari komponen middleware permainan lainnya. Mesin jenis ini umumnya disebut sebagai "mesin grafis," "mesin rendering," atau "mesin 3D" bukannya yang lebih mencakup istilah "mesin permainan." Namun, terminologi ini tidak konsisten digunakan sebagai banyak fitur lengkap mesin game 3D disebut hanya sebagai "mesin 3D." Beberapa contoh dari mesin grafis adalah: RealmForge, Truevision3D, ogre, Crystal Space, Genesis3D, Irrlicht dan JMonkey Engine. Permainan modern atau mesin grafis umumnya memberikan adegan grafik, yang merupakan berorientasi objek representasi dari dunia permainan 3D yang sering menyederhanakan desain permainan dan dapat digunakan untuk rendering lebih efisien dari dunia maya yang luas.

 Abstraksi perangkat keras

 
Paling sering, 3D rendering mesin atau sistem dalam mesin permainan dibangun di atas sebuah API grafis seperti Direct3D atau OpenGL yang menyediakan abstraksi perangkat lunak dari GPU atau video card. Perpustakaan tingkat rendah seperti DirectX, SDL, dan OpenAL juga umum digunakan dalam permainan ketika mereka menyediakan akses independen hardware-hardware komputer lain seperti perangkat input (mouse, keyboard, dan joystick), kartu jaringan, dan kartu suara. Sebelum hardware-accelerated 3D grafis, renderers perangkat lunak telah digunakan. Software rendering masih digunakan di beberapa model tools atau untuk yang masih diberikan gambar bila akurasi visual dinilai lebih real-time performance (frame per detik) atau ketika perangkat keras komputer tidak memenuhi persyaratan seperti dukungan shader atau, dalam kasus Windows Vista, dukungan untuk Direct3D 10.

 
Dengan munculnya fisika akselerasi perangkat keras pengolahan, berbagai fisika API seperti PAL dan perluasan fisika COLLADA (format persimpangan 3D aset) menjadi tersedia untuk menyediakan abstraksi perangkat lunak Fisika unit pengolahan penyedia middleware yang berbeda platform dan konsol.

 
Selain itu, lebih banyak mesin permainan sedang dibangun atas bahasa tingkat tinggi seperti Java dan C # /. NET (misalnya TorqueX, Blade3D, dan Visual3D.NET) atau Python (Panda3D). Karena kebanyakan game 3D kaya sekarang kebanyakan GPU-terbatas (yaitu dibatasi oleh kekuatan kartu grafis), potensi slowdowns bahasa tingkat tinggi menjadi diabaikan, sementara produktivitas keuntungan yang ditawarkan oleh bahasa-bahasa ini bekerja untuk mesin permainan pengembang 'manfaat. [8] [9] tren baru-baru ini didorong oleh perusahaan-perusahaan seperti Apple Inc dan Microsoft untuk mendukung pengembangan permainan Indie lebih banyak platform, seperti iPhone dan Xbox360 menggunakan Java atau. NET Framework and OpenGL / OpenAL dan XNA untuk grafis dan audio rendering. Hal ini menjadi lebih mudah dan lebih murah daripada sebelumnya untuk mengembangkan mesin-mesin permainan untuk platform yang mendukung kerangka kerja dikelola.

 

Mesin game FPS

 
Sebuah terkenal bagian dari mesin game 3D pertama-orang jujur (FPS) permainan mesin. Pengembangan inovatif dalam hal kualitas visual dilakukan dalam game FPS pada skala manusia. Sementara penerbangan dan mengemudi simulator dan real-time strategy (RTS) permainan semakin memberikan realisme dalam skala besar, pertama-orang penembak berada di garis depan komputer grafis yang lebih kecil, lebih manusiawi sisik.

 
Perkembangan FPD mesin grafis yang muncul dalam permainan dapat ditandai dengan peningkatan teknologi yang mantap, dengan beberapa terobosan. Usaha mendefinisikan generasi yang berbeda menyebabkan sewenang-wenang dari apa yang merupakan pilihan yang sangat versi modifikasi dari sebuah 'mesin tua' dan apa yang merupakan merek mesin baru.

 
Klasifikasi adalah mesin permainan rumit sebagai perpaduan teknologi lama dan baru. Fitur dianggap maju dalam permainan baru satu tahun, menjadi standar yang diharapkan tahun berikutnya. Permainan dengan campuran generasi tua dan fitur baru adalah norma. Sebagai contoh Jurassic Park: pelanggar (1998) memperkenalkan fisika ke game FPS, tapi tidak menjadi umum hingga sekitar 2002. Merah Fraksi (2001) menampilkan dpt dirusak dinding dan tanah, sesuatu yang masih belum umum di mesin tahun kemudian (misalnya di Unreal Tournament 2004 terdapat masih ada benda yg dpt dirusak). Battlezone (1998) dan Battlezone II: Combat Commander (1999) menambahkan berbasis kendaraan tempur ke campuran FPS biasa, yang tidak mencapai arus utama sampai nanti. Suku 2, Battlefield 1942, Halo: Combat Evolved dan Unreal Tournament 2004 sepenuhnya menyadari potensi untuk kendaraan-pertempuran dan orang jujur pertama integrasi. 


ok selesai, itu saja. semoga dapat menginspirasi dan mencerahkan.

Read full story

tools + software dan perbandingannya, untuk pengembangan game

ok ini adalah tugas bagian ke 2, pada mata kuliah PTG alias Pengantar Teknologi Game.
disini gue akan bahas tentang tools atau software apa saja untuk pengembangan game.

perlu diingat pembahasan disini adalah untuk pengembangan, bukan lagi membuat.
sebenarnya untuk mengembangkan suatu game adalah dengan software yang sama digunakan untuk membuat game tersebut pula.
salah satunya adalah Adventure Game Sudio,
oia tahukah kamu game itu sebenarnya ada yang 2D dan 3D?
dulu waktu gue masih semester 5 gue membuat game prolog alias program logic, membuatnya dengan menggunakan strawberry prolog. game ini ada lawannya juga, jadi seperti AI (Artiffical Intelegence) itu adalah kecerdasan buatan, artinya kita mengatur agar komputer bisa berpikir layaknya manusia melalui game yang dibuat.

balik lagi ke benang merah.
setau gue game itu dikembangkan bisa menggunakan DirectX dan OpenGL, pernah denger?
ok gue bahas sedikit ya....

Re_Publish By. Ika Udy Antoro
Universitas Bakti Indonesia

Persaingan tiada akhir. Inilah yang tercemin dari dua standar grafik hardware dunia ini. OpenGL menawarkan standar grafik yang sederhana dengan menggunakan prosedural programming, yaitu menstandarkan fungsi-fungsi dengan prefix awal gl seperti glBegin(..) atau glEnd(..). Sedangkan directX menawarkan teknologi programming windows yaitu dengan teknologi COM (Component Object Model). Kedua standar tersebut menawarkan fungsi-fungsi standar yang mirip, mungkin karena dulunya microsoft juga ikut mengembangkan OpenGL pada awal-awal pembuatannya, seperti GLSL dan HLSL.

Tetapi game-game terbaru pada PC kebanyakan memakai DirectX sebagai standar implementasinya. Mengapa? Suka tidak suka mau tidak mau para developer menggunakan directX karena directX merupakan framework yang tidak hanya berurusan dengan graphics saja tapi juga berurusan dengan semua bidang yang menunjang pembuatan sebuah game seperti input (directinput), networking (directplay), dan sound (directsound). Sedangkan pesaingnya, OpenGL, hanya memfocuskan diri pada standar grafik saja.
Lalu apakah kelebihan OpenGL daripada DirectX? Ada beberapa kelebihan OpenGL daripada directX, yaitu pertama adalah standar OpenGL bersifat multiplatform (dapat berjalan di banyak Operating System) sehingga selain di Windows, teknologi OpenGL juga ditemukan pada Linux, FreeBSD, OSx (Mac OS), Unix, Symbian OS, dan masih banyak lagi OS yang mensupport OpenGL. Hal tersebut dikarenakan standar OpenGL bersifat open dan dapat diimplementasikan oleh siapa saja. Berbeda dengan directX, yang notabennya dipunyai oleh microsoft, implementasi directX tidak boleh sembarangan dan hanya boleh dilakukan oleh microsoft.
Kelebihan kedua adalah supporting terhadap micro device seperti handphone, smartphone, PDA, dan gameing console. OpenGL ES merupakan standar OpenGL yang diadopsi untuk micro device, sehingga hadir dalam tahun ini game 3d dimensi (pure 3d) yang dapat berjalan di handphone atau PDA. Bagaimana dengan gaming console? OpenGL masih menjadi standar programming untuk beberapa console seperti Sony Playstation, Nintendo Wii & DS, dan PSP. Bahkan PDA dengan OS Windows CE masih menggunakan OpenGL sebagai standar grafik hardwarenya. Dalam pasar micro device directX kalah bersaing dengan OpenGL.
Selain kelebihan OpenGL juga mempunyai kelemahan. Kelemahan pertama yaitu OpenGL hanya berupa basic prosedural library sehingga tidak mempunyai mekanisme untuk menangani berbagai macam permasalahan. Contoh kecil saja, pada directX dikenal 3D model file dengan format X. Format tersebut didukung penuh oleh directX dan masih terus dikembangkan sampai saat ini. Sedangkan OpenGL tidak mempunyai format sendiri, meskipun baru-baru ini Khronos Group (Pengembang OpenGL) mengeluarkan suatu format 3D model yaitu COLLADA tetapi tetap OpenGL API dan COLLADA adalah standar yang berbeda dalam hal fungsi.
Kelemahan lainnya adalah banyaknya standar yang hanya ada di suatu hardware vendor saja. OpenGL bersifat open sehingga semua orang dapat mengajukan standar yang diinginkan (dalam hal ini berupa OpenGL extension) sehingga menciptakan berbagai extension yang berbeda antara vendor satu dengan vendor lainnya. Sedangkan standar yang digunakan untuk kesemua hardware ditampung dan dikelola oleh ARB Forum. Ini menjadi suatu hardware misalkan ATI dengan NVIDIA mempunyai spesifik OpenGL Extension sendiri. Hal ini membuat susahnya mengimplementasikan game yang bisa berjalan dikedua hardware tersebut dengan teknologi terbarunya.

nah itulah pengertian sekaligus perbedaannya.
ok cukup ya, mau lanjut ke tugas selanjutnya tentang arsitektur mesin game

Read full story

jenis game dan kesempatan untuk menunjang industri kreatif

Assalamualaikum wr.wb
salam sejahtera untuk adik-adik, kakak-kakak, rekan-rekan, om, tante dan semua yang sedang membaca artikel ini. pada artikel ini saya mendapatkan tugas dari dosen saya terkait teknologi game, dan salah satunya adalah tentang jenis game dan kesempatannya untuk menunjang industri kreatif.

kira-kira sudah ada yang tau game apa yang dapat menunjang industri kreatif?
sebelum membahas itu, kita harus analisis terlebih dahulu siapa saja pengguna game atau yang disebut sebagai gamers, lalu apa yang mereka sukai dari suatu permainan game tersebut yang membuat seorang gamers rela berlama-lama didepan komputernya untuk bermain game, sampai lupa makan, lupa mandi. hehe tapi ini serius, dari salah satu stasiun televisi pernah menayangkan 7 kebiasaan yang menimbulkan kematian, salah satunya adalah bermain game, dan itu benar-benar terjadi di eropa sana. wow

tapi lihat dari sisi positifnya atau dari segi opportunity nya, ternyata game merupakan suatu hal yang paling banyak disukai oleh orang, dan membuka kesempatan bagi developer game untuk terus bergelut dibidang develop game. walaupun ada beberapa game yang gratis, tetapi tetap saja walaupun gratis ternyata sang developnya pun mendapatkan keuntungan , salah satunya dari iklan ataupun donasi atau bahkan plugin jika game tersebut menarik untuk dilanjutkan. game merupakan salah satu untuk menghilangkan setress dan game merupakan permainan yang membutuhkan otak kanan.

ok kita ambil contoh game yang sering dimainkan diwarnet-warnet saat ini, apa itu? POINT BLANK
game itu adalah game yang gratis, alias bisa kita dapatkan secara free.
tetapi untuk penambahan senjata-senjata kita harus membeli vouchernya, dan tahukah kamu senjata-senjata tersebut disimpan dalam database server yang akan bisa digunakan kalau kita membeli voucher lalu id dari voucher tersebut digunakan sebagai otentikasi untuk meng unlock database untuk senjata yang diinginkan.
dan itu dapat meningkatkan industri kreatif untuk menciptakan plugin-plugin lain untuk menunjang industri kreatif.
udah ya , sebenernya masih banyak jenis-jenis game lain yang mendukung industri kreatif, seperti saat ini yang sedang booming yaitu angry birds,
tetapi yang perlu diperhatikan bukan lah pada marketing dari game tersebut (walaupun ini juga penting), tetapi yang perlu diperhatikan dan amat penting untuk diperhatikan adalah, untuk siapa game tersebut. kalangan mana yang akan digunakan, pasar mana yang paling banyak bermain game, maka kita akan menemukan game apa yang akan menunjang industri kreatif tersebut.
ok itu saja, semoga dapat inspirasi,.. sukses ya ^_^

Read full story

10 game teratas versi myplaycity

ini dia 10 game terbaik versi myplaycity yang bisa kamu download
http://www.myplaycity.com/top_games/?gclid=CK6q2ouk9a4CFcx66wodfAJ1Iw

Read full story

Teknologi game (part1)

Black Mamba Sebagai Konsol Game Terbaru

Dengan semakin meningkatnya kebutuhan sistem yang diusung pada permainan game yang banyak beredar sekarang ini, menuntut para produsen untuk menciptakan perangkat yang telah disesuaikan dengan perangkat permainan yang ada. Sejalan dengan itu banyak bermunculan perangkat keras berkualitas yang memang diperuntukkan khusus bagi permainan game yang ada.
Menyikapi pekembangan tersebut, CyberPower baru saja telah memperkenalkan sebuah model terbaru pada perangkat seri Fang yang dikenal dengan Black Mamba. Perangkat mesin permainan game tersebut memiliki chasing Corsair Obsidian 800D dengan konstruksi frame yang terbuat dari baja yang tahan terhadap segala keadaan. Perangkat ini didukung oleh processor Intel Core i7-975 Extreme Edition 3.33GHz, Liquid Cooling ATI Radeon 5870 1GB DDR5 PCIe Video Card and RAM berkapasitas 6GB.
Black Mamba ini dilengkapi dengan sebuah hardisk berkapasitas 2TB dan SSD 64MB yang rangkap serta Blu-ray player dan DVD SuperMulti burner. Perangkat ini hadir dengan seperangkat keyboard/mouse Razer Lachesis dan Lycosa serta 12 card reader di dalamnya. Kartu grafis multiple yang bersifat opsional bisa ditambahkan pula.
Mengenai keberadaannya di pasaran, perangkat CyberPower Black Mamba ini dibandrol seharga 3779 USD atau sekitar 37,8 juta rupiah per unitnya.

Pokewalker Tawarkan Game Pokemon On The Go

Anda masih ingat dengan karakter-karakter Pokemon yang sempat booming beberapa tahun silam? Atau mungkin Anda masih menyimpan beberapa ornamen dengan nuansa karakter tersebut di kamar Anda.
Mengingatkan Anda kembali dengan karakter tersebut, Nintendo baru saja mengumumkan bahwa Pokemon Heart Gold dan Soul Silver akan diluncurkan pada 14 Maret 2010 di Amerika Serikat. Dan kini produsen konsol asal Jepang tersebut mengungkapkan bahwa mereka akan mengambil permainan tersebut dari Nintendo DS dan DSI namun tak akan pernah benar-benar memisahkannya.
Seperti namanya, Pokewalker dihubungkan dengan ide mengenai pemain yang membawa aksesoris tersebut sambil berjalan kaki. Ketika si pemain bergerak, benda kecil tersebut akan merekam jarak dan akan menterjemahkannya ke dalam Watts, yang kemudian dapat digunakan dalam Pokewalker sendiri untuk memburu jenis Pokemon baru dan berburu serangkaian item yang tersembunyi.
Beberapa makhluk yang tersedia di Heart Gold dan Soul Silver akan ditransfer ke Pokewalker dan mungkin berubah menjadi variasi yang unik yang tidak dapat kembali ke bentuk semula.
Nintendo tidak mengabaikan aspek sosial dan setiap kali ada dua Pokewalker dapat dihubungkan melalui jaringan nirkabel agar dua pemain dapat bertukar item dan melihat satu sama lain makhluk yang dimilikinya. Tidak jelas apakah masing-masing Pokewalker terikat pada satu salinan dari Nintendo baru atau apakah mereka dapat menggunakannya secara bergantian.

Pokemon Heart Gold dan Soul Silver adalah judul yang diubah dari game Nintendo DS yang awalnya muncul pada perangkat seperti GameBoy. Fitur layar sentuh dari perangkat ini memungkinkan kontrol skema pemain lebih banyak pilihan dalam berurusan dengan berbagai pokemon dan dengan lingkungannya.
PSP Go, Konsol Game Portable Terbaru
Kabar gembira bagi anda penggemar console game portable yang sudah tidak sabar menunggu konsol game terbaru dari sony dengan PSP nya. Karena baru baru ini telah keluar gambar dan spesifikasi official dari PSP Go, nama dari versi terbaru PSP.
Dengan display sebesar 3,8 inchi dan mempunyai tingkat brightness yang lebih terang dibanding pendahulunya(PSP-3000) membuat sensasi bermain game menjadi lebih memuaskan.Media penyimpanan masih menggunakan flash dengan kapasitas 16 GB, tanpa drive UMD, namun bukan berarti tidak ada slot ekspansi, karena konsol ini juga dilengkapi dengan slot Memory Stick Micro,
Konektivitasnya berupa Bluetooth dengan kompatibilitas penuh dengan PSP-3000 dan kanal Playstation Network. Yang memungkinkan anda bermain secara multiplayer dengan pengguna PSP lainnya.
PSP akan dikenalkan pada event tahunan Electronic Entertainment Expo (E3) yang merupakan event besar skala internasional untuk industry computer dan video game.Jika anda membutuhkan informasi lebih lengkap anda bisa mengunjungi forum official PSP di sini.
Sebuah video demo juga sudah tersedia di Viddler.com.
Belum ada kepastian mengenai harga yang akan dijatuhkan untuk menembus sebuah console game portable ini. Tapi yang jelas melihat produk console PS3 yang dijual dengan banderol tinggi mungkin pada awal peluncurannya PSP Go membuat anda yagn menginginkannya harus mulai menabung lebih intensif mulai sekarang jika ingin segera memilikinya.
sumber :
http://www.beritateknologi.com/cyberpower-pekenalkan-black-mamba-sebagai-konsol-game-terbaru/
http://www.beritateknologi.com/pokewalker-tawarkan-game-pokemon-on-the-go/
http://kabarit.com/2009/06/psp-go-konsol-game-portable-terbaru/

Read full story

Membuat Modeling karakter berkaki 2

Tutorial membuat modelling karakter untuk animasi berkaki dua

Pada tugas softskill kali ini saya akan mencoba share tentang langkah membuat modelling karakter untuk animasi berkaki dua. Program yang saya gunakan adalah blender 2.60. Langsung saja nih ikuti langkah berikut ini

1.tekan shift+A mesh dan pilih UV SPHARE.Contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

2.Selanjutnya adalah tekan TAB atau pilih edit mode dan pilih wireframe atau bisa tekan z dan potong bagian tengahnya dengan cara klick B lalu seleksi kebagian tengah hingga kebawah lalu ketik X lalu pilih face dan delete,contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

3.Kalau sudah maka selanjutnya adalah ketik B lalu seleksi bagian bawahnya saja lalu tekan E dan Z lalu tarik kebawah sedikit saja buat dibolongkan nanti,terus tekan E dan Z kembali sampai kebawah buat bagian badannya.Kalau sudah,seleksi atau pencet B dan seleksi bagian kecil yang tadi lalu tekan x lalu pilih face dan delete.Contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

4.Selanjutnya adalah buat tangan dan kakinya.Pertama buat tangan dahulu yaitu ketik shift+A lalu mesh dan pilih UV sphare.Kalau sudah maka di scale secukupnya dengan cara tekan s lalu geser cursor hingga objeknya terlihat aga kecil.Contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

5.Selanjutnya adalah tekan B lalu seleksi dari tengah hingga kebawah lalu tekan z dan tarik kebawah,maka akan tampil seperti dibawah ini

6. Selanjutnya adalah bikin tangan yang disebelahnya dengan cara seleksi semua tangan lalu pilih duplicate object yang berada disebelah kiri toolbar dan tekan Y lalu letakkan disamping badan yang sebelahnya maka akan tampil seperti ini

7.Kalau sudah maka kita buat kakinya dengan cara duplicate object kembali lalu di scale agar besar sedikit dan letakkan dibawah,contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

8.Kalau sudah,seleksi semua object dan tekan smooth yang berada disebelah kiri toolbar maka akan tampil seperti dibawah ini

9.Selanjutnya adalah membuat mata,caranya adalah tekan shift+A mesh dan pilih Uvsphare lalu scale,letakkanya dibagian kepala diantara tengah lalu dismooth seperti bagian badan,contohnya bisa lihat seperti dibawah ini

10.Kalau sudah maka selanjutnya adalah membuat antenanya.Caranya adalah seleksi tangan yang mana aja lalu scale dan rotate aga miring,letakkan diatas mata,contohnya bisa lihat dibawah ini

11.Selanjutnya adalah membuat bone di robotnya dengan cara tekan shift+S lalu pilih cursor to center lalu tekan shift+A dan pilih armature dan bone,pada di armature ti toolbar kiri,pilih xray agar terlihat maka akan tampil seperti dibawah ini

12.Selanjutnya adalah pilih edit mode dan tekan kanan di ujung atas bonenya dan pilih e dan z lalu tarik keatas dan e lalu x dan tarik kesamping,kalau sudah maka akan tampil seperti dibawah ini

13.Seleksi satu bone saja dan pilih pose mode,Klick kanan dibagian robot lalu tekan shift dan klick dibone mana saja lalu tekan ctrl+p maka akan tampil seperti dibawah ini

14.Pilih armature deform,Klick armature dibagian toolbar kanan lalu pilin envelope maka akan tampil seperti dibawah ini

15.Kalau sudah maka warnakan robot itu,dengan cara klick material disebelah kanan toolbar dan klick new lalu pilihlah warna yang anda mau maka trarang,akan muncul seperti dibawah ini

Selesai :)
sumber : http://yumanissanadia.blogspot.com/2012/01/tutorial-membuat-modelling-karakter.html

Read full story

TRANSFORMASI GEOMETRI

BAB XXI.
berikut ini akan dipaparkan tentang transformasi geometri, berkaitan tentang
Pergeseran (Translasi)
Pencerminan (Refleksi)
Pemutaran (Rotasi)
Perkalian bangun (Dilatasi)


TRANSFORMASI GEOMETRI

⎛ − 2⎞
Jadi bayangan titik P(3,5) oleh translasi T= ⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
adalah (1, 8)
B. Pencerminan (Refleksi)
Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu
titik atau bangun pada suatu bidang.
Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang
membahas tentang perubahan (letak,bentuk , penyajian)
yang didasarkan dengan gambar dan matriks.
Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :
1. Pergeseran (Translasi)
2. Pencerminan (Refleksi)
3. Perputaran (Rotasi)
4. Perkalian (Dilatasi)
A. Pergeseran (Translasi)
Perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan
arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah
(vector) AB atau dengan suatu pasangan bilangan
⎛a⎞
misal ⎜ ⎟ .
⎜b⎟
⎝ ⎠
⎛a⎞
Translasi T = ⎜ ⎟ memetakan titik P(x 1 ,y 1 ) ke titik
⎜b⎟
⎝ ⎠
'
P ( x 1 + a, y 1 + b )yang dinotasikan dengan :
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
1. Pencerminan terhadap sumbu X
(dilambangkan dengan M X )
M x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x, -y)
Persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞
⎛1 0 ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 −1⎟
⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
2. Pencerminan terhadap sumbu Y
(dilambangkan dengan M Y )
M Y : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, y)
Persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞
⎛ −1 0⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 1⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0)
(dilambangkan dengan M O )
⎛a⎞
⎜ ⎟
T = ⎜ ⎟ : P(x 1 ,y 1 ) → P ' ( x 1 + a, y 1 + b )
⎝b⎠
M O : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-x, -y)
contoh: Persamaan matriksnya :
⎛ − 2⎞ ⎛ x' ⎞
      Bayangan titik P(3,5) oleh translasi ⎜ ⎟ adalah ... ⎛−1 0 ⎞
            ⎜ 3 ⎟ ⎜ '⎟ = ⎜
                ⎝ ⎠ ⎜ 0 − 1⎟
                             ⎟
                              ⎜y ⎟
                                 ⎝
                                  ⎠
                                   ⎝ ⎠
jawab:
⎛ − 2⎞
T = ⎜ ⎟ : P(3,5) → P ' (3 + (-2), 5 +3 )
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
4. Pencerminan terhadap garis y = x
(dilambangkan dengan M y= x )
M y= x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (y, x)
www.matematika-sma.com - 1
⎛ x' ⎞
⎛ 0.(−2) + 1.5 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 1.(−2) + 0.5 ⎟
⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
Persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞
⎛0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 5 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ − 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. Pencerminan terhadap garis y = -x
(dilambangkan dengan M y = − x )
⎛ 5 ⎞
Jadi titik bayangan A adalah A ' ⎜ ⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
2. Bayangan garis y = 2x - 3 yang dicerminkan
terhadap garis y = - x adalah..
M y = − x : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (-y, -x)
Persamaan matriksnya :
Jawab:
⎛ x' ⎞
⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜−1 0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞
⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜−1 0 ⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
6. Pencerminan terhadap garis x = h
(dilambangkan dengan M x = h )
M x = h : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (2h – x , y)
⎛ x' ⎞
⎛− y⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜− x⎟
⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
x ' = -y → x = - y '
y ' = -x → y = - x '
7. Pencerminan terhadap garis y = k
(dilambangkan dengan M y = k )
M y= k : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( x , 2k - y)
substitusikan ke persamaan garis y = 2x – 3 menjadi:
- x ' = 2 (- y ' ) – 3 → 2 y ' = x ' - 3
8. Pencerminan terhadap titik (a,b)
(dilambangkan dengan M ( a ,b ) )
Jadi bayangannya adalah 2y = x -3
M ( a ,b ) : P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' ( 2a-x, 2b - y)
Contoh:
1. Titik A(-2, 5) dicerminkan terhadap garis y = x,
kordinat titik bayangan A adalah...
Jawab:
⎛ x' ⎞
⎛0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛x ⎞
⎛0 1⎞ ⎛ − 2⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0⎟ ⎜ 5 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
'
C. Perputaran (Rotasi)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan
memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik
pusat rotasi.
Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ
dinotasikan dengan R (P, θ ).
1. Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ belawanan arah jam
Terhadap titik pusat O(0,0), maka diperoleh bayangan
P ' (x ' , y ' ).
R(O,
θ ): P(x,y) →
P (x , y ) = P (x cos θ - y sin θ , x sin θ + y cos
www.matematika-sma.com - 2
'
'
'
'
θ)
Persamaan matriknya:
Jawab:
⎛x ⎞
⎛ cos θ
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ sin θ
⎜y ⎟
⎝
⎝ ⎠
'
− sin θ ⎞
⎟
cos θ ⎟
⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
a.
Untuk θ = 90 0 , -90 0 , 180 0 , 270 0 , -270 0 dengan
memasukkan nilai θ tersebut didapat table sbb:
Rotasi Bayangan Matriks
R(O, 90 0 ) (-y, x) ⎛ 0 − 1⎞
                         ⎜
                          ⎜1 0 ⎟
                             ⎟
                              ⎝
                               ⎠
R(O, -90 0 ) (y, -x) ⎛ 0 1⎞
                        ⎜
                         ⎜ −1 0⎟
                              ⎟
                               ⎝
                                ⎠
                                 ⎛−1 0 ⎞
                                      ⎜
                                       ⎜ 0 − 1⎟
                                            ⎟
                                             ⎝
                                              ⎠
                                               ⎛ 0 1⎞
                                                  ⎜
                                                   ⎜ −1 0⎟
                                                        ⎟
                                                         ⎝
                                                          ⎠
R(O, 180 0 )
0
R(O, 270 )
(-x, -y)
(y, -x)
R(O, -270 0 ) (-y, x)
⎛ x' ⎞
⎛ 0 − 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜1 0 ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞
⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 1 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 1 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x ' ⎞ ⎛ − 3⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜y ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b.
⎛ x' ⎞
⎛ 0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ −1 0⎟ ⎜ y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞
⎛ 0 1 ⎞ ⎛1⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜ − 1 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 0 − 1⎞
⎜
⎜1 0 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 3 ⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
(dilambangkan dengan R(O, θ )
D. Perkalian atau Dilatasi
Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan
dengan arah jam terhadap titik pusat A(a,b) maka
bayangannya adalah P ' (x ' , y ' ) dengan
Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan
factor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu.
Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala
(k) dan pusat dilatasi.
x ' - a = (x –a) cos θ - (y-b) sin θ
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ
Pemetaannya:
Persamaan matriknya:
⎛ x' ⎞
⎛ cos θ
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ sin θ
⎜y ⎟
⎝
⎝ ⎠
− sin θ ⎞
⎟
cos θ ⎟
⎠
[O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎜
⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞
⎛k 0⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜0 k ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Contoh soal:
1. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0).
Tentukan Bayangan titik B apabila titik B dirotasikan
a. sejauh 90 0 berlawanan arah dengan jarum jam
b. sejauh 90 0 searah jarum jam
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titik P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b)
dengan factor skala k, didapat bayangan P ' ( x ' , y ' )
dengan:
www.matematika-sma.com - 3
'
masukkan ke dalam persamaan matriks:
⎛ 1
⎞
0 ⎟ ⎛ −1 − 2⎞ ⎛ 2⎞
⎜−
⎛ x' ⎞
⎜ '⎟ = ⎜ 2
⎟ ⎜
⎟ +⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎜ 0 − 1 ⎟ ⎝ 2 − 3 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ ⎠
⎜
⎟
2⎠
⎝
'
x - a = k(x - a) dan y - b = k (y - b)
Persamaan matriksnya :
⎛ x' ⎞
⎛k 0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 k ⎟ ⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 1
⎛ x' ⎞ ⎜ − 2
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜
⎜y ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ 0
⎝
Contoh:
1. Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
dengan factor skala 2 adalah:
Jawab:
⎛ x' ⎞
⎛k 0⎞ ⎛ x⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜0 k ⎟ ⎜ y⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞
⎛ 2 0 ⎞ ⎛1⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 2 ⎟ ⎜ 3⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
x ' = 2 dan y ' = 6
Jadi bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat
O (0,0) dengan factor skala 2 adalah B ' (2,6)
2. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3)
1
dengan factor skala - adalah:
2
jawab:
1
; x = -1 ; y = 2 ; a = 2 ; b ; 3
2
Jadi bayangan titik B(-1, 2) dilatasi terhadap titik pusat
1
A(2,3) dengan skala - adalah B ' ( 7 , 7 )
2 2
2
Suatu titik A (x,y) ditransformasikan oleh
⎡a b ⎤
menjadi A ' ( x ' , y ' ).
matriks ⎢
c d⎥
⎣
⎦
Hubungan di atas dapat dituliskan dalam persamaan
matriks:
didapat :
k= -
⎛ x' ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2⎞
⎛ x' ⎞ ⎛ 7 ⎞
⇔ ⎜ ' ⎟ = ⎜ 2⎟ + ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ' ⎟ = ⎜ 2⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟
⎜ y ⎟ ⎜7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ 2⎠
E. Transformasi oleh suatu Matriks.
k = 2, x = 1 ; y = 3 masukkan ke dalam pers matriks:
⎛ x' ⎞
⎛k 0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜ 0 k ⎟ ⎜ y − b⎟ + ⎜b⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎞
0 ⎟ ⎛ − 3⎞ ⎛ 2 ⎞
⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 3 ⎟
− ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2⎠
⎛ x' ⎞
⎛a b ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜c d ⎟
⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
Contoh:
⎡ 2 4⎤
Hasil transformasi matriks ⎢
⎥ terhadap titik
⎣3 5⎦
B(2, -3) adalah...
jawab:
⎛ x' ⎞
⎛a b ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎜c d ⎟
⎟
⎜y ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
⎛ x' ⎞ ⎛ 2 4⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ '⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 3 5 ⎟ ⎜ − 3⎟
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝
www.matematika-sma.com - 4
⎛ x' ⎞ ⎛ − 8⎞
⇔ ⎜ '⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ − 9⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
contoh:
Jadi B ' adalah (-8, -9)
F. Kompisisi Transformasi
Gabungan dari beberapa transformasi disebut dengan
komposisi transformasi.
⎛ 3⎞
Titik B(2,4) ditranslasikan oleh T 1 ⎜ ⎟ kemudian
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎛1⎞
dilanjutkan dengan T 2 ⎜ ⎟ , bayangan titik B adalah...
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
jawab:
⎛a⎞ ⎛ c ⎞
⎛a +c⎞
T = T 2 o T1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎜b⎟ ⎜d ⎟
⎜b + d ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛ 1 + 3 ⎞ ⎛ 4⎞
=⎜
⎜ 2 + 4⎟ = ⎜ 6⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
''
⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜ '' ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜10 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2
terhadap suatu titik P (x,y) :
Dalam bentuk bagan urutan transformasi dapat
diperlihatikan sbb:
T2
T1
'
'
'
P(x,y) → P ( x , y ) → P '' (x '' , y '' )
P '' (x '' , y '' )
1. Komposisi dua translasi
⎛a⎞
Jika translasi T 1 ⎜ ⎟ dan T 2
⎜b⎟
⎝ ⎠
2. Komposisi Refleksi
a . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu sejajar
1. Sejajar terhadap sumbu x
Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan ter-
hadap garis y = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah hasil
pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) terhadap garis y = b.
(lihat gambar)
y
• P '' (x '' , y '' )
y =b
Pengerjaan transformasi ini dapat ditulis dengan:
T 2 o T1
T 2 o T 1 P(x,y)
jadi bayangannya adalah (6,10)
⎛c⎞
⎜ ⎟,
⎜d ⎟
⎝ ⎠
b
• P'( x', y')
komposisi translasi T 1 dilanjutkan dengan T 2
dapat diwakili oleh translasi tunggal yang ditentukan
oleh:
y=a
a
• P ( x,y )
⎛a⎞ ⎛ c ⎞
⎛a + c⎞
T 2 o T1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎜b⎟ ⎜d ⎟
⎜b + d ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
sifat-sifat komposisi translasi
1. Untuk dua translasi berurutan berlaku
T 1 o T 2 = T 2 o T 1 (komutatif)
x
y=a
P ( x,y )
P ' (x, 2a – y)
y=b
'
P (x, 2a – y)
2. Untuk tiga translasi berurutan berlaku
(T 1 o T 2 ) o T 3 = T 1 o ( T 2 o T 3 ) (asosiatif)
d= b–a
www.matematika-sma.com - 5
P '' ( x, 2b –(2a-y) )
P '' ( x, 2(b –a) +y )
P '' ( x, 2 d +y )
jarak antara dua sumbu yang sejajar
Jadi jika transformasi pencerminan terhadap garis
y = a disebut dengan M y = a dan transformasi
pencerminan terhadap garis y = b disebut dengan
M y=b , maka
M y =b o M y = a
b . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu
saling tegak lurus
Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan titik
P (x, y) terhadap garis x = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah
hasil pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) tehadap garis y=b.
P '' ( x, 2 d +y ) ; d = b – a
P (x, y)
2. Sejajar terhadap sumbu y
Jika titik P ' ( x ' , y ' ) adalah hasil pencerminan ter-
hadap garis x = a dan titik P '' (x '' , y '' ) adalah hasil
pencerminan titik P ' ( x ' , y ' ) terhadap garis x = b
(lihat gambar)
y
'
'
'
''
''
''
P ( x, y ) P (x ,y ) P (x , y )
• • •
Maka:
x=a
P ' ( (2a-x), y)
P ( x,y )
y=b
x
x =a
'
P (2a-x, y)
x=b
Jadi
x=a
M y=b o M x = a
P ' ( (2a-x), y)
P ( x,y )
P ( x,y )
x=b
'
P '' (2b –(2a-x),y )
P '' ( (2b- 2a)+ x, y )
P '' ( (2(b- a)+ x, y )
P '' (2 d +x, y )
P (2a-x, y)
d= b–a
sejajar
jarak antara dua sumbu yang
Jadi jika transformasi pencerminan terhadap
garis x = a disebut dengan M x = a dan
Transformasi pencerminan terhadap garis x =
b disebut dengan M x =b , maka
M x =b o M x = a
(x, y)
P '' (2a-x, 2b-y)
P '' (2d + x, y ) ; d = b – a
P '' (2a-x, 2b-y)
Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus
ekuivalen dengan rotasi pusat perpotongan dua sumbu dan
sudut putar 180 0 , ditulis sbb:
M y =b o M x = a = R((a,b), 180 0 )
c . Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu
saling berpotongan
Pencerminan terhadap dua sumbu yang saling
berpotongan akan menghasilkan rotasi yang bersifat:
1. Titik potong kedua sumbu pencerminan adalah pusat
perputaran
2. Besar sudut putar adalah dua kali sudut antara kedua
sumbu pencerminan
3. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama
ke sumbu kedua.
www.matematika-sma.com - 6
Luas Bangun A ' = |det T | x Luas bangun A
Pemetaannya dapat ditulis sbb:
M 2 o M 1 = R(T, 2 θ )
|det T | dinamakan factor perbesaran luas, merupakan nilai
mutlak determinan matriks T.
T = titik potong kedua sumbu
θ = sudut antara kedua sumbu
| det T | = |ad – bc|
3. Komposisi Rotasi Contoh soal:
Dua rotasi berurutan yang sepusat ekivalen dengan Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1,1), B(1,5),
rotasi sejauh jumlah kedua sudut rotasinya terhadap C(6,1). Berapa luas bayangan segitiga ABC oleh
pusat yang sama. transformasi yang bersesuaian dengan
                ⎛ 1 3⎞
                   matriks ⎜
                    ⎜ − 2 2⎟ ?
                         ⎟
                          ⎝
                           ⎠
Jika R 1 = R (0, θ ) dan R 2 = R(0, β )
maka:
Jawab:
R 2 o R 1 = R(0, ( θ + β ) )
Komposisi Transformasi dengan Matriks
Jika T 1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan
⎛a b ⎞
matriks M 1 = ⎜
⎜ c d ⎟ dan T 2 adalah transformasi
⎟
⎝
⎠
⎛c d ⎞
yang bersesuaian dengan matriks M 2 = ⎜
⎜ e f ⎟ maka
⎟
⎝
⎠
komposisi transformasi :
Luas ∆ ABC =
1. T 2 o T 1 adalah perkalian matriks M 2 . M 1
⎛c d ⎞ ⎛a b ⎞
M 2 . M1 = ⎜
⎟
⎜e f ⎟ ⎜c d ⎟
⎟⎜
⎠
⎝
⎠⎝
=
2. T 1 o T 2 adalah perkalian matriks M 1 . M 2
⎛a b ⎞ ⎛c
M1. M 2 = ⎜
⎜ c d ⎟ ⎜e
⎟⎜
⎝
⎠⎝
diketahui ∆ ABC :
Alas = AC = 5 ; tinggi = AB=4
1
1
x alas x tinggi = x AC x AB
2
2
1
. 5 . 4 = 10 satuan luas
2
∆ ABC ditransformasikan yang bersesuaian dengan matriks
⎛ 1 3⎞
⎜
⎜ − 2 2⎟ .
⎟
⎝
⎠
Misal matriks ini adalah T, maka:
d⎞
⎟
f⎟
⎠
|det T | = |1 .2 – 3(-2) | = |2 + 6| = 8
Luas daerah bangun hasil transformasi
⎛a b ⎞
Jika matriks transformasi T = ⎜
⎜c d ⎟
⎟
⎝
⎠
mentransformasikan bangun A menjadi bangun A ' ,
maka :
Luas bayangan ∆ ABC = |det T | x Luas ∆ ABC
www.matematika-sma.com - 7
= 8 x 10
= 80 satuan luas
Tabel macam-macam Transformasi dan matriksnya :
No
Transformasi Notasi Matriks
⎛a⎞ P(x 1 ,y 1 ) → P ' ( x 1 + a, y 1 + b ) ⎛a⎞
    Translasi ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
        ⎜b⎟ ⎜b⎟
            ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
                Pencerminan terhadap sumbu X
                (Refleksi)
P(x,y) → P ' (x, -y) 3 Pencerminan terhadap sumbu Y P(x,y) → P ' (-x, y) ⎛1 0 ⎞
                         (Refleksi) ⎜
                                     ⎜ 0 − 1⎟
                                          ⎟
                                           ⎝
                                            ⎠
                                             −1 0⎞
                                                ⎛
                                                 ⎜
                                                  ⎜ 0 1⎟
                                                     ⎟
                                                      ⎝
                                                       ⎠
4 Pencerminan terhadap titik asal P(x,y) → P ' (-x, -y) ⎛−1 0 ⎞
  (0,0) ⎜
         ⎜ 0 − 1⎟
              ⎟
               ⎝
                ⎠
5 Pencerminan terhadap garis y = x P(x,y) → P ' (y, x) 6 Pencerminan terhadap garis y = -x P(x,y) → P ' (-y, -x) ⎛0 1⎞
                                                                                                                        ⎜
                                                                                                                         ⎜1 0⎟
                                                                                                                            ⎟
                                                                                                                             ⎝
                                                                                                                              ⎠
                                                                                                                               ⎛ 0 − 1⎞
                                                                                                                                    ⎜
                                                                                                                                     ⎜−1 0 ⎟
                                                                                                                                          ⎟
                                                                                                                                           ⎝
                                                                                                                                            ⎠
7 P(x,y) → P ' (2h – x , y) 12 Pencerminan terhadap garis x = h 13 Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
8 P(x,y) → P ' ( x , 2k - y) Pencerminan terhadap garis y = k
9 P(x,y) → P ' ( 2a-x, 2b - y) Pencerminan terhadap titik (a,b)
10 ' Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)
   P(x,y) → P (x cos θ - y sin θ , x sin θ + y cos R(O, θ ) berlawanan arah jam
        θ) Rotasi terhadap titik pusat P(a, b)
         x ' - a = (x –a) cos θ - (y-b) sin θ R(O, θ ) berlawanan
             y ' - b = (x – a) sin θ + (y- b) cos θ dengan arah jam
                                                        Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
1
2
11
*
[O, k] : P(x,y) → P ' (kx, ky)
x ' - a = k(x - a)
y ' - b = k (y - b)
T 2 o T1
Transformasi T 1 dilanjutkan oleh T 2
Jika M 1 dan M 2 adalah matriks transformasi T 1 dan
T 2 maka T 2 o T 1 adalah M 2 x M 1
www.matematika-sma.com - 8
⎛ cos θ
⎜
⎜ sin θ
⎝
− sin θ ⎞
⎟
cos θ ⎟
⎠
θ
θ
⎛cos −sin ⎞ ⎛ x − a ⎞ ⎛ a ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜sin cos ⎟ ⎜ y − b ⎟ + ⎜ b ⎟
θ
θ ⎟⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛k
⎜
⎜0
⎝
⎛k
⎜
⎜0
⎝
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎝ ⎠
0⎞ ⎛ x − a⎞ ⎛a⎞
⎟⎜
⎟ +⎜ ⎟
k ⎟ ⎜ y − b⎟ ⎜b⎟
⎠⎝
⎠ ⎝ ⎠
0⎞
⎟
k⎟
⎠
sumber terkait:
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:D-7-Z0DrXpsJ:www.belajar-matematika.com/ringkasan_SMA/BAB%2520XXI%2520Transformasi%2520Geometri.pdf+%22transformasi+geometri%22&hl=id&gl=id&pid=bl&srcid=ADGEEShzs5ctLE4kgv6UOYo4cK-FQxTh6YlU_GoglZS-v_JXVS-b9fuOPX8QSXQWMrTknd2iN9Z6CEm32hDIKIgmvUK30wcE0Z2e9e3kfmS-ps-n3Kped2TKLDQNwg9ttLh2wEwlq1ST&sig=AHIEtbQx4JZesOjbCl2F5lYt2snEChi7zg

Read full story

Model Grafik

Dalam penggunaan komputer tentunya harus didukung oleh tampilan yang akan memudahkan user dalam memahami informasi yang ditampilkan, berupa gambar, citra, bentuk-bentuk dan model yang mengabstraksi dari sebuah bentuk riil dan mudah diingat. Model grafik itu sendiri adalah sebuah kesatuan dari bentuk, titik dan garis.
- Titik ( Point )
Dot atau dalam istilah komputer dikenal dengan pixel ( picture element ) atau juga kadang disebut dengan pel, adalah elemen terkecil dari sebuah gambar ayau pola dalam tampilan komputer. Kempulan dari pixel membentuk sebuah gambar atau pola yang dapat dikenali dalam variasi warna dan jumlah yang banyak. Kumpulan pixel dalam jumlah panjang dan lebar tertentu disebut dengan resolusi.

- Garis ( Line )
Dua buah titik selalu dihubungkan dengan sebuah garis dimana jarak terdekatnya adalah berupa garis lurus.
- Vertex 
Titik pada 3D

- Edge 
Garis pada 3D yang menghubungkan 2 vertex
- Polygon / Face / Facet 
Bangun sembarang yang terbentuk dari vertex-vertex yang terhubung. Merupakan unit fundamental dari grafik komputer 3D.

- Raster
Berasal dari sistem TV yang menggunakan kolom pixel. Keuntungannya adalah dapat menggambar benda (model) seperti dunia nyata dengan banyak variasi warna. Namun raster juga memiliki kekurangan yaitu memakan ukuran memory yang besar dan jika di perbesar, gambarnya pecah.

Secara sederhana grafik komputer terbagi atas 2D dan 3D :

2D atau 2 Dimensi

Pengertian sederhana dari grafik 2D sebenarnya hanya perlu dilihat dari dua buah sumbu yang membentuknya yaitu axis x (datar) dan y (tegak) karena itulah dinamakan 2 dimensi. Maksudnya grafik 2D hanya terdiri dari panjang dan lebar juga hanya dapat ditangkap mata dari satu sudut pandang. Agar dapat tampil dengan sempurna, gambar yang akan ditampilkan dengan teknik ini harus memiliki nilai koordinat x dan y minimum 0 dan maksimum sebesar resolusi yang digunakan.

3D atau 3 dimensi
Seperti pada pengertian 2 dimensi sebelumnya namun 3D terbentuk dari 3 sumbu yaitu axis x (datar), y (tegak) dan z (miring). Jadi grafik ini memiliki panjang, lebar dan tinggi, memiliki volume dan tidak hanya dapat ditangkap oleh satu sudut pandang saja. 3D secara umum merujuk pada kemampuan dari sebuah video card (link). Saat ini video card menggunakan variasi dari instruksi-instruksi yang ditanamkan dalam video card itu sendiri (bukan berasal dari software) untuk mencapai hasil grafik yang lebih realistis dalam memainkan game komputer.

Tools pendukung dalam membuat model grafik dapat ditemukan dalam program-program yang sudah umum seperti Adobe Photoshop, Corel Draw, dll.


sumber : http://cokelatgelap.blogspot.com/2011/10/pengertian-model-grafik.html

pemodelan bisa dikatakan sebagai suatu cara untuk membentuk,membuat dan mendesain suatu benda – benda atau objek sehingga terlihat hidup. Kesemuanya ini dikerjakan dengan computer,dengan cara memperlihatkan benda tersebut secara 3 dimensi atau yang biasa dikenal sebagai pemodelan (3D modeling). untuk mendapatkan kualitas yang baik dari model obyek tadi, ada beberapa aspek yang harus kita jadikan pertimbangkan antara lain motede pembuatan data, tujuan dari model, kemudahan memanipulasi objek, tingkat kerumitannya, perhitungan biaya dan kesesuaian atau kenyamanan. langkah – langkah pembuatan pemodelan sendiri terdiri dari Motion Capture Model 2D, Dasar metode Modeling 3D, Proses Rendering Texturing, Image dan Display,

a. Motion Capture Model 2D

Proses ini adalah langkah awal untuk membentuk model obyek yang akan dibangun dalam bentuk 3D. Penekanannya adalah obyek berupa gambar wajah yang sudah dibentuk intensitas warna tiap pixelnya dengan metode Image Adjustment Brightness/Contrast, Image Color Balance, Layer Multiply, dan tampilan Convert Mode RGB dan format JPEG. Dalam tahap ini digunakan aplikasi grafis seperti Adobe Photoshop atau sejenisnya. Dalam tahap ini proses penentuan obyek 2D memiliki pengertian bahwa obyek 2D yang akan dibentuk merupakan dasar pemodelan 3D

b.Dasar metode Modeling 3D

Jenis metode pemodelan obyek yang disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision.Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan.
C.Proses Rendering
Rendering adalah proses akhir dari keseluruhan proses pemodelan ataupun animasi komputer. Dalam rendering, semua data-data yang sudah dimasukkan dalam proses modeling, animasi, texturing, pencahayaan dengan parameter tertentu akan diterjemahkan dalam sebuah bentuk output.

d. Texturing

Proses texturing ini untuk menentukan karakterisik sebuah materi obyek dari segi tekstur. Untuk materi sebuah object bisa digunakan aplikasi properti tertentu seperti reflectivity, transparency, dan refraction.

e.Image dan Display

Merupakan hasil akhir dari keseluruhan proses dari pemodelan. Biasanya obyek pemodelan yang menjadi output adalah berupa gambar untuk kebutuhan koreksi pewarnaan, pencahayaan, atau visual effect yang dimasukkan pada tahap teksturing pemodelan

Desain permodelan grafik sangat berkaitan dengan grafik komputer. Desain pemodelan grafik merupakan segala sesuatu mengenai pengolahan gambar yang dikerjakan pada komputer berupa pemotongan gambar, rotasi, dilatasi, translasi dan lain-lain.

Pemodelan adalah membentuk suatu benda-benda atau obyek. Membuat dan mendesain obyek tersebut sehingga terlihat seperti hidup. Sesuai dengan obyek dan basisnya, proses ini secara keseluruhan dikerjakan di komputer. Melalui konsep dan proses desain, keseluruhan obyek bisa diperlihatkan secara 3 dimensi, sehingga banyak yang menyebut hasil ini sebagai pemodelan 3 dimensi (3D modelling). Adapun pemodelan grafik itu proses terbentuknya gambar 3D yang dimulai dari grafik primitif yaitu titik, garis, kemudian menjadi gambar 2D, dan bila gambar 2D itu saling dipadukan maka akan terbentuklah suatu gambar 3D

Berikut adalah kegiatan yang berkaitan dengan grafik
komputer:
1.Pemodelan geometris : menciptakan model matematika dari objek-objek 2D dan 3D.
2.Rendering : memproduksi citra yang lebih solid dari model yang telah dibentuk.
3.Animasi : Menetapkan/menampilkan kembali tingkah laku/behaviour objek bergantung waktu.

Kerangka grafik komputer

1.Graphics Library/package (contoh : OpenGL) adalah perantara aplikasi dan display hardware(Graphics System).
2.Application program memetakan objek aplikasi ke tampilan/citra dengan memanggil graphics library.
3.Hasil dari interaksi user menghasilkan/modifikasi citra.
4.Citra merupakan hasil akhir dari sintesa, disain, manufaktur, visualisasi dll.

Tipe-Tipe Citra

Grafis Komputer 2D

Grafik komputer 2D adalah pembuatan objek gambar yang masih berbasis gambar dengan perspektif 2 titik sebagai contoh adalah:gambar teks,bangun 2D seperti segitiga,lingkaran dsb. Grafik komputer 2D kebanyakan digunakan pada aplikasi yang digunakan hanya untuk mencetak dan menggambar seperti tipografi, gambar, kartun,iklan, poster dll.
a. Pixel Art
Pixel art adalah sebuah bentuk seni digital, yang diciptakan melalui penggunaan perangkat lunak grafik raster di mana gambar akan diedit pada tingkat pixel. Pixel art dapat ditemukan pada komputer atau game-game yang relatif tua, dan juga dapat ditemukan pada telepon genggam.
b. Vector graphics
Berbeda dengan pixel, grafik vektor merupakan representasi dari gambar dengan berupa array pixel. Dimana keunggulannya adalah pada resolusi berapapun dan tingkat pembesaran apapun gambar yang dihasilkan tetap(tidak blur atau pecah)
c. Grafik Komputer 3D


Grafik komputer 3D merupakan suatu grafis yang menggunakan 3 titik perspektif dengan cara matematis dalam melihat suatu objek, dimana gambar tersebut dapat dilihat secara menyeluruh dan nyata. Untuk perangkat-perangkat lunak yang digunakan untuk grafik komputer 3D ini banyak bergantung pada aloritma-algoritma.
d. Animasi Komputer
Animasi Komputer adalah seni membuat gambar bergerak melalui komputer. Biasanya ini digunakan pada film-film animasi berbudget besar. Tetapi film-film non animasi juga banyak yang menggunakan teknik ini, sebut saja Lord Of The Ring, Harry Potter, dsb.

http://vimyza.blogspot.com/

Read full story